TAM SAYILAR ve özellikleri ilgili konu anlatımı örnek sorular ve

6/9/2009 · Kategori: Matematik konu anlatimi

TAM SAYILAR

Tanım: 9 N, 7 N için 9 - 7 = 2 ’dir. Fakat 7 - 9 = x x  N. Bu yüzden Doğal Sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir. Çıkarma İşleminde kapalılık özelliği olmadığı için de Doğal Sayılar birçok problemin çözümünde yetersizdir. Problemleri daha kolay çözebilmek amacıyla Doğal Sayıları da kapsayan, çıkarma işlemine göre kapalı olan ve toplama işlemine göre bir elemanın tersi bulunan daha geniş bir sayı kümesi tanımlanır. Bu küme Tam Sayılar olarak adlandırılır ve ‘Z’ ile gösterilir. Sayı doğrusunda ise;

Tam Sayılar Kümesi = Z = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}

Pozitif Tam Sayılar Kümesi = Z⁺ = {1,2,…,n,…}

Negatif Tam Sayılar Kümesi = Z^- = {…,n…,-2,-1}

1. {0} ne negatif ne de pozitif tam sayıdır.

Z = Z^- ^’dır.

Tam Sayılar Kümesi’nde İşlemler:

1. Toplama İşlemi’nin özellikleri:

   1. Kapalılık Özelliği:

 a,b için a + b ’dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Toplama İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn: (-6) + (+4) = (-2) 

(+9) + (-3) = (+6) 

1.  

   2. Birleşme Özelliği:

 a,b,c  Z için a + (b + c) = (a + b) + c olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.

Örn: [(-7)+ (+5)] + (-4) = (-7) + [(+5) + (-4)]

(-2) + (-4) = (-7) + (+1)

(-6) = (-6)

1.  

   3. Birim (Etkisiz) Eleman:

 a Z için a + 0 = 0 + a olduğundan “0” Tam Sayılar kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanıdır.

Örn: (+8) + 0 = 8 = 0 + (+8)

(-4) + 0 = (-4) = 0 + (-4)

1.  

   4. Ters Eleman Özelliği:

aZ için a + (-a) = 0 = (-a) + a olduğundan a’nın Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’ne göre tersi a’dır ve her elemanın tersi vardır.

Örn: (+3) + 8-3) = 0 = (-3) + (+3)

1.  

   5. Değişme Özelliği:

aZ için a + b = b + a olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin değişme özelliği vardır.

Örn: (-9) + (+3) = (+3) + (-9)

(-6) = (-6)

• Bu beş özellik sağlandığı için (Z, +) sistemi Değişmeli Grup’tur.

2. Çıkarma İşlemi’nin Özellikleri:

   1. Kapalılık Özelliği:

 a,b için a - b Z’ dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Çıkarma İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn: (-17) – (+9) = (-26) Z

1.  

   2. Birleşme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.

Örn: [(-13) – (+9)] - (-7) (-13) - [(+9) - (-7)]

(-22) - (-7)  (-13) - (+16)

(-15)  (-29)

1.  

   3. Birim (Etkisiz) Eleman:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı yoktur.

1.  

   4. Ters Eleman Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.

1.  

   5. Değişme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.

Örn: 23 – (-14)  (-14) – 23

37. 

3. Çarpma İşlemi’nin Özellikleri:

   1. Kapalılık Özelliği:

 a,b için a . b Z’ dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Çarpma İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn: 4 . 5 = 20Q

1.  

   2. B-)Birleşme Özelliği:

 a,b,c  Z için a . (b . c) = (a . b) . c olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.

Örn: [5. (-3)] . 7 = 5 . [(-3) . 7]

(-15) . 7 = 5 . (-21)

-105 = -105

1.  

   3. Birim (Etkisiz) Eleman:

 a Z için a . 1 = 1 . a olduğundan “1” Tam Sayılar kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanıdır.

Örn: -7 . 1 = -7 = 1 . -7

6 . 1 = 6 = 1. 6

1.  

   4. Ters Eleman Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin ters eleman özelliği yoktur.

Örn: 4 . x = 1 = x . 4

x  Z

1.  

   5. Değişme Özelliği:

aZ için a . b = b . a’dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin değişme özelliği vardır.

Örn: -2 . 5 = 5 . -2

-10 = -10

1.  

   6. Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi Üzerinde Dağılma Özelliği:

a,b,cZ için (a . b) . c = a . (b . c) olduğu için Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi üzerinde Dağılma Özelliği vardır.

Örn: (6 . 4) . 8 = 6 . (4 . 8)

24 . 8 = 6 . 32

192 = 192

4. Bölme İşlemi’nin Özellikleri:

   1. Kapalılık Özelliği:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin kapalılık özelliği yoktur.

Örn: 8 : 4 = 2 Z

4 : 8 = x Z

1.  

   2. Birleşme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.

Örn: (60 : 10) : 5 60 : (10 : 5)

6 : 5 60 : 2

6 : 5  30

1.  

   3. Birim (Etkisiz) Eleman:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) eleman özelliği yoktur.

1.  

   4. Ters Eleman Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.

1.  

   5. Değişme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.

Örn: 25 : 5  5 : 25

 5 : 25

İşlem Sırası:

Bir problemin çözümünde işlem yaparken izlenmesi gereken sıra;

1. Parantez İçleri

2. Kuvvet Alma

3. Hangisi önce geliyorsa bölme ya da çarpma

4. Hangisi önce geliyorsa toplama ya da çıkarma

Örn: (15 : 5 - 7) . (-7 . 3 + 9) + 12 = ?

= ( 3 – 7) . (-21 + 9) + 12

= -4 . -12 + 12

= -48 + 12

= -36

Tek ve Çift Sayılar:

a  b  Z için;

1. İki çift sayının toplamı ya da farkı bir çift sayıdır. “Ç  Ç = Ç”

2. İki tek sayının toplamı ya da farkı bir çift sayıdır. “T = Ç”

3. Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı ya da farkı tek sayıdır. “T  Ç = T”

4. İki tek sayının çarpımı tek sayıdır. “T .T =T”

5. İki çift sayının çarpımı çift sayıdır “Ç .Ç = Ç”

6. Bir tek sayı ile bir çift sayının çarpımı çift sayıdır. “Ç .T = Ç” 

SERİLER, SERİ ÇEŞİTLERİ, SERİLERİN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU A

6/9/2009 · Kategori: Matematik konu anlatimi

SERİLER, SERİ ÇEŞİTLERİ, SERİLERİN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

A. TANIM

·    (a_n) reel terimli bir dizi olsun.

 = a₁+a₂+a₃+ ...+a_n + ... sonsuz toplamına seri denir.

·    a_n’e serinin genel terimi denir.

·    Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan S_n = a₁+a₂+a₃+ ...+a_n  toplamına serinin n. kısmi toplamı denir.

·    (S_n) = (S1,...,S2,...,S₃,...,Sn,...) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir.

·    a) (S_n) dizisi yakınsak ise  serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı  = lim S_n’ dir.

b) (S_n) dizisi ıraksak ise  seriside ıraksaktır.

·     serisi yakınsak ise lim a_n = 0’dır. Bu ifadenin tersi doğru değildir.Yani, lim a_n = 0 iken  serisi yakınsak olmayabilir.

·    lim a_n ise  serisi ıraksaktır.

ÖRNEK

  2ⁿ/5^-n serisi veriliyor. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

a_n = 2ⁿ/5^-n = 2ⁿ.5ⁿ = 10ⁿ dir. lim a_n = lim 10ⁿ = ¥ dur. lim a_n ¹ 0 olduğuna göre seri ıraksaktır.

ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER

1.  Aritmetik Seriler

(a_n) dizisi bir aritmetik dizi ise  serisine aritmetik seri denir. Aritmetik serinin kısmi toplamı S_n = n (a₁+a₂)’dir. Aritmetik seri ıraksaktır.

                   2

ÖRNEK

 (n – 10)/20 serisi veriliyor. Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz. Serinin kısmi toplamını bulunuz. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

" n Î N⁺ için d = a_{n +1} – a_n =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir.

a₁ = -9/20 ve a_n = (n – 10)/20 olduğuna göre, S_n =n/2(a₁+a_n) = n/2[-9/20 + (n –10)/20]

                                                                                                 =n(n – 19)/40 = ¥   

olduğuna göre (S_n) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. (S_n) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır.

2.  Geometrik Seriler

(a_n) dizisi bir geometrik dizi ise  serisine geometrik seri denir. Geometrik serinin kısmi toplamı S_n = a₁.1-rⁿ’dir.

                             1-r

a) |r| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a₁’dir.

                                                                                                                         1-r

b) |r| ise seri ıraksaktır. bilgiyelpazesi.net

ÖRNEK

  3^1-n serisi veriliyor.

Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz.

" n Î N⁺ için, r = (a_n+1)/a_n = 3^1-(n+1)/3^1-n = 1/3 olduğu için seri geometrik seridir.

a₁ = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre,

S_n = 1 . [1 – (1/3)ⁿ]/(1 – 1/3) = 3/2[1 – (1/3)ⁿ] dir.

r = 1/3 olduğuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir. Bunu için seri yakınsaktır.

Seri yakınsak olduğuna göre toplamı  3^{1 – n} = a₁/(1 – r) = 1/(1 – 1/3) = 3/2 dir.

SAYILAR VE OZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMI ORNEK SORULAR VE

6/9/2009 · Kategori: Matematik konu anlatimi

SAYILAR

Sayılar, insanların etrafında gördüğü ve devamlı olarak temasta bulunduğu eşyaları, nesneleri saymak ihtiyacından doğmuştur. İlk insanlar kümelerin elemanları arasında eşleme yaparak sayı fikrinin gelişmesine katkıda bulundular. Zamanla bilinen sayılar ihtiyacı karşılayamaz durumda kalınca yeni sayı kümeleri geliştirildi. Geçmiş yıllarda bu kümelerle ilgili bilgiler edindiniz. Bu bölümde çeşitli sayı kümeleriyle ilgili bilgilerimizi hatırlatacak, onlara yeni bilgiler katacağız.

Doğal Sayılar

0,1,2,3,4,5, ....n... sayılarından her birine doğal sayı bu sayılardan oluşan kümeye de doğal sayılar kümesi denir. bu küme N sembolü ile gösterilir.

N = { 0,1,2,3,4,...,n,...}

Doğal sayılar kümesinin sıfırı içermeyen alt kümesine sayma sayıları kümesi denir. Bu küme

S = {1,2,3,4,5,...,n } biçiminde gösterilir.

İki doğal sayının toplamı ve çarpımı yine bir doğal sayıdır. Başka bir deyişle;Doğal sayılar kümesi toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Bu özelik ; Her a, b  N için

a+b  N ve a.b N şeklinde gösterilir.

Diğer yandan örneğin ;

8 - 20 = -12  N ve 2: 6 = N

olduğundan doğal sayılar kümesinin çıkarma ve bölme işlemlerine göre kapalı olmadığı görülür.

Doğal Sayılarda İşlemlerle Denklem Çözümleri

İçinde en az bir bilinmeyen bulunan eşitliklere denklem denir. Örneğin ;

 x + 5 = 0

 2y – 4x = 6

 x + 6 = 6x – 3

 Bir silgi 80 bin lira ise 4 silgi kaç lira? ifadeleri

denklemdir.

fakat ;

 25 – 6 = 19

 bir silgi 80 bin lira ise 4 silgi 320 bin liradır.

 9² = 81 gibi ifadeler içinde bilinmeyen bulunmadığı

için eşitliktir.

Eşitliğin özellikleri

Denk iki kümenin eleman sayılarının eşit olduğunu hatırlayınız. Kümeler arasındaki denklik bağıntısına dayanarak doğal sayılar kümesinde eşitlikle ilgili aşağıdaki özellikleri söyleyebiliriz. Her şeyden önce eşitlik dengede olan bir terazi demektir.

Her a,b,c  N için,

1. a = a ’dır. (Yansıma)

2. a = b ise b = a (Simetri)

3. a = b ve b = c ise a = c (Geçişme)

4. Eşitliğin her iki yanına aynı sayıyı eklemek veya çıkarmakla eşitlik bozulmaz.( Dengedeki bir terazinin her iki kefesine aynı ağırlığı eklediğimizde terazi yine dengede olur.)

Yani a = c ise a + b = c + b olur.

5. Eşitliğin her iki yanını aynı sayı ile çarparsak veya bölersek

eşitlik bozulmaz.

Yani a = c ise a : b = c : b olur.

Yani a = c ise a.b = c.b olur.

Örnekler

1. x + 3 = 7 denklemini gerçekleyen x değerini bulalım

Çözüm: Eşitliğin her iki yanına –3 ekleyelim. ( veya 3 çıkaralım.)

x + 3 – 3 = 7 - 3 yazılır.

x + 0 = 4  x = 4’ tür.

2. 4x - 2 = 10 denklemini gerçekleyen x değerini bulalım.

Çözüm: Eşitliğin her iki yanına 2 ekleyelim.

4x – 2 + 2 = 10 + 2 yazılır.

4x + 0 = 12

4x = 12 olur. Eşitliğin her iki yanını 2 ile bölelim. 4x:4 = 12:4  x = 3 olur.

Üslü Sayılar

5.5.5 = 125 çarpmasının üç çarpanı da eşit ve 5 ‘dir.

5.5.5 = 5³ = 125 biçiminde gösterilir. 5³ gösteriminde 5’e taban 3’e de üs denir. Eğer üs 2 ise kare, 3 ise küp de denir.

Burada 125 sayısına 5’in küpü denir ve,

taban  5^{3 üs}=125

şeklinde gösterilir.

Bir doğal sayının üssü, o sayının kaç kere kendisiyle çarpılacağını gösterir. Söz gelişi,

10⁷=10.10.10.10.10.10.10 ( 7 tane 10 çarpılacak ) ’dir.

Buna göre bir doğal sayının kuvvetiyle ilgili tanımı verelim.

Tanım

1) x  N ve n  N⁺ için xⁿ = x.x.x...x

2) x  N⁺ için x⁰ = 1’dir. (x¹ = x olup 0⁰ tanımasızdır)

Teorem

Her x, y, m, n  N ve x  0, y  0 için,

1. x^m.xⁿ = x^m.n

2. x^m.y^m = (x.y)^m

3. (x^m )ⁿ = x^m.n

İspat

1. x^m.xⁿ = (x.x.x...x).(x.x.x...x) = x.x.x...x = x^m+n olur.

2. x^m.y^m = (x.x.x...x).(y.y.y...y) = (x.y).(x.y)...(x.y) = (x.y)^m

3. (x^m)ⁿ = x^m.x^m.x^m...x^m = x^m+m+m+...+m = x^m.n

Sonuç

1. Tabanları aynı olan iki doğal sayıyı çarparken üsler toplanır ve eşit tabana üs yazılır.

2. Tabanları farklı, kuvvetleri aynı olan iki doğal sayı çarpılırken tabanlar çarpılır ve ortak kuvvet çarpıma alınır.

3. Üslü bir doğal sayının kuvveti alınırken üs ile kuvvetin çarpımı doğal sayıya üs olarak yazılır.

ÖRNEKLER

4⁷.4⁵ = 4⁷⁺⁵ = 4¹²

2⁵.3⁵ = (2.3)⁵ = 6⁵

(x²)⁴ = x^2.4 = x⁸

a⁵.a⁴ = a⁵⁺⁴ = a⁹

x⁶.y⁶ = (x.y)⁶

(8⁴)^x = 8^4.x = 8^4x

Asal Sayılar

Doğal sayılar kümesinin bazı elemanlarını iki sayının çarpımı şeklinde yazalım.

2 = 1.2

3 = 1.3

4 =1.4 ve 2.2

5 = 1.5

6 = 1.6 veya 2.3

7 = 1.7

8 = 2.4 veya 1.8

9 =1.9 veya 3.3

10 = 1.10 veya 2.5

11 = 1.11

12 = 1.12 veya 2.6 ya da 3.4

14 = 1.14 veya 2.7

Bu sayılardan bazısı kendinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabiliyor. Bazıları ise sadece 1 ile çarpım şeklinde yazılabiliyor ( kırmızıya boyananlar ).

1 sayısı çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman olduğu için her doğal sayı 1’in katıdır başka bir deyişle 1 ile bölünür. Ancak, her doğal sayı kendinden küçük olan bazı sayılara bölünemez. Şimdi, asal sayı ile ilgili tanımı verelim.

Tanım

1 hariç başka tam sayılar ile çarpım şeklinde yazılamayan doğal sayılara asal sayı denir.

En küçük asal sayı 2’dir. 2 hariç bütün asal sayılar tek sayıdır.

Aşağıda 1’den 50’ye kadar doğal sayılar verilmiştir. Kırmızı ile boyalı olan doğal sayılar asal sayıdır. İnceleyiniz.

Bir Doğal Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma

Bir doğal sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazabiliriz. Bu işleme sayıyı asal çarpanlara ayırmak denir.

Örnek 30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

30 = 1.30 Çarpanlardan 30 asal değil !

30 = 1.2.15 Çarpanlardan 15 asal değil !

30 = 1.2.3.5 Çarpanlar asal ! Asal çarpanlara ayrılmış şekli budur.

Bir doğal sayının asal çarpanlarını yazmak için o sayıyı en küçük asal sayıdan ( 2 ‘ den ) başlayarak asal sayılara böleriz.

Örnek 40 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

Örnek : 36 sayısını asal çarpanlarına ayırarak yazalım.

Çözüm:

Bir doğal sayıyı bölen sayılar o sayının aynı zamanda çarpanlarıdır. Buna göre verilen sayıyı yukarıda görüldüğü gibi art arda bölme işlemi yaparak asal çarpanlarına ayırabiliriz.

Asal çarpanlara ayrılma işlemini daha iyi yapabilmek için bölünebilme kurallarını kullanmalıyız.

• 2 ile Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı sıfır ya da çift olan doğal sayılar 2 ile bölünür.

Örnek : 1420, 30714, 10 008 sayıları 2 ile kalansız bölünür.

71, 345,1387 sayıları 2 ile kalansız bölünemez.

• 3 ile Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 3 ya da 3’ün katı olan doğal sayılar 3 ile kalansız bölünür.

Örnek: 12348 sayısı 3 ile bölünürse kaç kalır?

14348 sayısının rakamlarının toplamı,

1+ 4 + 3 + 4 + 8 =20 2 + 0 = 2 kalan 2 ‘ dir.

Örnek: 5268 sayısı 3 ile bölünürse kaç kalır?

5268 sayısının rakamlarının toplamı,

5 + 2 + 6 + 8 = 21 2 + 1 = 3, 3 ün katı olduğundan kalan sıfırdır.

• 4 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının son iki basamağındaki rakamların gösterdiği iki basamaklı sayı 4 ile bölünürse o sayı 4 ile kalansız bölünür.

Örnek: 900, 780, 78 944 sayılarının birler ve onlar basamağında 00, 80 ve 44 vardır. Kurala göre,

00 = 4.0 80 = 4.20 44 = 4.11 olduğu için bu sayılar 4 ile bölünebilir.

Örnek: 1522 sayısı ise 4 ile bölünemez. Çünkü 224 ‘ün katı değildir.

• 5 ile Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı sıfır ya da 5 olan doğal sayılar 5 ile bölünebilir.

Örnek:1950 ve 30 005 sayısı 5 ile bölünürse kalan sıfır olur.

Örnek: 748 sayısı 5 ile kalansız bölünemez. Bu sayının 5 ile bölümünden 8 – 5 = 3 kalır. Bir doğal sayının 5 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.

• 9 ile Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 ya da 9’un katı olan doğal sayılar 9 ile bölünür. 9 ile bölümden çıkacak kalan sayının rakamlarının toplamı 9 ‘ a bölünerek bulunur.

Örnek: 297 855 sayısı 9 ile kalansız bölünür.

Çünkü rakamları toplamı 36 dır. 36 3 + 6 = 9

Örnek: 3174 15 6

O halde 3174 sayısı 9 ile bölünürse 6 kalır.

• 9 ile Bölünebilme

Doğal sayının basamakları sağdan sola doğru tek ve çift olmak üzere iki gruba ayrılır. Tek basamaklarda bulunan rakamların sayı değerleri toplamından çift basamaklarda bulunan rakamların sayı değerleri toplamı çıkarılır. Elde edilen fark sıfır ya da 11’in katı oluyorsa o sayı 11 ile bölünür.

Örnek: 2 9 4 8

8 + 9 = 17 Tekler toplamı

4 + 2 = 6 Çiftler toplamı

17- 6 = 11 fark

11: 11= 1 olur. Sayı 11 ile kalansız bölünür.

• 6 ile Bölünebilme

Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen sayılar 6 ile de bölünür.

Örnek: 318 sayısı birler basamağındaki rakamı çift olduğu için 2 ile,

3 + 1 + 8 = 12 ve 12 = 3.4 olduğu için 3 ile bölündüğünden 6 ile de bölünür.

SAYI, YAŞ, HAREKET, HAVUZ VE İŞÇİ PROBLEMLERİ ile ilgili örnekle

6/9/2009 · Kategori: Matematik konu anlatimi

SAYI, YAŞ, HAREKET, HAVUZ VE İŞÇİ PROBLEMLERİ

Bir x sayısının a fazlası x+a

a eksiği x-a

a katı a.x

1 ‘sı x

a a

Örnek-1:

Ali,Ayşe ve Mehmet 27700 lirayı paylaşacaklardır. Ali,Mehmet’ten 1000 lira fazla,Ayşe de Ali’den 1300 lira eksik alacaktır. Buna göre Mehmet’in payı kaç lira olur?

Çözüm

Mehmet:x Toplam=x+x+1000+(x+1000)-1300

Ali:x+1000 27700=3x+2000-13000

Ayşe:(x+1000)-1300 27700=3x+700

27000=3x

x=9000 olur.

Örnek-2:

Bir teneke yağ dolu iken 16 kg gelmektedir.1 kullanılınca bu tenekedeki yağın ağırlığı 11 kg gelmektedir.

Buna göre bu tenekenin ağırlığı kaç kg’dır?

Çözüm:

Dara:x

Net ağırlık:y

Dolu iken x+2y=11 3x+2y=33

16 kg=x+y Boş y 3

3

Yağ 2y -2 x+y=16

3 3x+2y=33

Yağ

-2x-2y=-32

3x+2y=33 x=1 kg olur.

Örnek-3

Merve doğum günü için alınan pastanın 1/8 ini kendisi, 1/6 sını annesi, kalan pastanın 6/7- sini misafirlere ikram etmiştir. Kalan pasta kaç gramdır?

Bu problemin çözümü için aşağıdakilerden hangisi bilinmelidir?

A)Pastanın çapı

B)Yenilen pastanın kalan paraya oranı

C)Anne’nin yediği pastanın Merve’nin yediği pastaya oranı

D)Pastanın ağırlığının bilinmesi

Çözüm:

Doğru cevap D şıkkıdır. Çünkü; soruda pastanın ağırlığı isteniyor. Diğer bilgiler gereksizdir.

Örnek-4

Lunaparktaki atlı karınca bilet kuyruğunda, Özgür, baştan sekizinci sırada; Selim sondan sekizinci sıradadır. Özgür ile Selim arasında iki kişi vardır. Selim, Özgür’den öndedir.

Bu kuyrukta kaç kişi vardır?

A)16 B)14 C)12 D)10

Çözüm:

Son Özgür Selim baş

X X X X X X

8. sırada

8.sırada

8+8=16, 4 kişi iki defa sayıldığından; 16-4=12 kişi vardır. Doğru cevap C şıkkıdır

Örnek-5

Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 2 şer 2 şer oturanca 10 kişi ayakta kalıyor. 4er 4er oturunca 2 sıra boş kalıyor.

Sınıf mevcudu kaç kişidir?

A)25 B)28 C)30 D)32

Çözüm:

Sıra sayısı

X

2x+10=Sınıf mevcudu

4(x-2)=Sınıf mevcudu

2x+10=4(x-2)

2x+10=4x-8

10+8=4x-2x

18=2x

2. 2

x=9

Sınıf mevcudu=2.9+10=18+10=28

Doğru cevap B şıkkıdır.

Örnek-6

Bir çuval buğdayın 5 inin, 1 nün15 kg fazlası 40 kg dır. Buğdayın tamamı kaç kg’dır? 8 4

A)120 B)160 C)180 D)260

Çözüm:

Buğdayın tamamı:x kg olsun.

x.5/8.1/4+15=40

5x/32=25

x=25.32 x=160 kg

5

Doğru cevap D şıkkıdır.

YAŞ PROBLEMLERİ

İki kişi arasındaki yaş farkı hiçbir zaman değişmez.

Katlar ve oranlar hangi yılda verildiyse denklem o yılda kurulur.

Örnek-1

Bir annenin bugünkü yaşı kızının bugünkü yaşının 5 katıdır. Kızı annesinin yaşına geldiğinde anne 72 yaşında olacaktır. Buna göre kızın bugünkü yaşı kaçtır?

A)5 B)6 C)7 D)8

Çözüm:

Kız Anne

x 5x

4x yıl sonra anne 72 yaşında olacak.

Annenin şimdiki yaşı :5x

4x yıl sonra anne 5x+4x=72 9x=72 x=8 olur

Cevap D şıkkıdır.

Örnek-2:

Bir babanın yaşı 60, çocuklarının ise 9,12,14 tür. Kaç yıl önce babanın yaşı,çocukların yaşları toplamının 2 katına eşitti?

A)2 B)3 C)4 D)5

Çözüm:

Baba K.ç O.Çocuk B.ç

60-x 9-x 12-x 14-x X yıl önceki yaşları

60-x=2.(9-x+12-x+14-x)

60-x=2.(35-3x) 60-x=70-6x 10=5x x=2 sene önce

Cevap A dır.

Örnek-3

Oya’nın yaşının 3 katı,Gül’ün yaşının 4 fazlasının 2 katına eşittir.İkisinin 5 yıl önceki yaşlarının toplamı21 ise Gül bugün kaç yaşındadır?

A)15 B)16 C)17 D )14

Çözüm:

Oya:x Gül:y

3x=2y+8

x-5+y-5=21

-3/x +y=31 -3x-3y=-93 -5y=-85

3x-2y=8 3x-2y=8 y=17 olur

Cevap C şıkkıdır.

HAREKET PROBLEMLERİ

Yol:l

Hız:v

Zaman:t

Yol:Hız . Zaman Hız:Yol Zaman:Yol

Km: km/h.h Zaman Hız

Örnek-1:

Ankara’dan aynı anda yola çıkan iki arabanın saatteki ortalama hızları 80 ve 90 km’dir.Hızı fazla olan araba diğerinden 10 dakika önce gidecekleri yere vardıysa,iki yer arasındaki uzaklık ne kadardır?

A)120 B)160 C)180 D)100

Çözüm:

10 dakika= 1/6 saattir.

Yol:Hız . Zaman

80 Km

90 Km

A B

|AB|=90.t

|AB|=80.(t+1/6)

90t=80.(t+1/6) 90t=80t+80/6 10t=80 t=8/6 olur

6. |AB|=90.8/6=120

Cevap A şıkkıdır.

Örnek-2

A kentinden B kentine gitmek için aynı anda hareket eden iki otomobilden biri saatte 60 km

diğeri ise 70 km yol alıyor.Bu otomobillerden hızlı olan B kentine 1 saat daha önce vardığına göre Hızlı olan araç A kenti ile B kenti arasını kaç saatte almıştır?

A)5 B)6 C)7 D)8

Çözüm:

|AB|=70.t

|AB|=60.(t+1) 10t=60

70t=60t+60 t=6

Yanıt B şıkkıdır.

HAVUZ VE İŞÇİ PROBLEMLERİ

-Birim zamanda yapılan iş veya dolan havuz üzerinden işlem yapılır.

-Bir işin tamamı a saatte bitiyorsa,1 saatte bu işin 1/a‘sı biter.

-Bir işin tamamını 1. İşçi a, 2. İşçi b saatte,ikisi birlikte x saatte bitiriyorsa

1 1 1

-1.,2.,3.,işçiler sırasıyla bir işi a,b,c günde bitiriyor.İşe başladıktan t zaman sonra bir ya da birkaç işçi işi bırakıyor ve geri kalan işçiler işi x zamanda bitiriyorsa;

t. 1 + x.1 1 =1

Örnek-1:

Can bir işi 6 günde, Veli ise 12 günde bitirmektedir.İkisi beraber bu işi kaç günde bitirir

A)4 B)6 C)2 D)8

Çözüm:

1 + 1= 1 2x+x=12

6 12 x 3x=12 x=4 günde bitirirler.

Cevap A şıkkı olur.

Örnek-2:

Bir işi 1. İşçi yalnız başına 8 günde,2. İşçi 6 günde 3. İşçi de 12 günde bitirebiliyor.Üç işçi 2 gün birlikte çalıştıktan sonra 1 v2 2. İşçi işten ayrılıyor.Geri kalan işi 3. İşçi ne kadar zamanda bitirir?

A)1 B)2 C)3 D)4

Çözüm

2. 1

Örnek-3:

1. musluk boş bir havuzun tamamını 6 günde ,2.musluk 1 günde 5/12 sini dolduruyor.3.musluk ise dolu bir havuzu 3 günde boşaltıyor.Bu üç musluk açıldığında boş olan bu havuz kaç günde dolar?

A)1 B)2 C)3 D)4

Örnek-4

Ahmet bir işin yarısını 2 günde Mehmet ise ¼ ünü 3 günde yapıyor ikisi birlikte bu işi kaç günde yaparlar?

A)3 B)4 C)5 D)6

Ahmet tamamını:2 x 2=4 günde

Mehmet tamamını:4x 3=12 günde yapar

2.1/4+1/12 =1/x

4/12=1/x

4 1 4x=12

12 x x=3 günde yaparlar.

Cevap A Şıkkıdır.

Örnek-5:

İki musluk bir havuzu 24 saatte dolduruyor.1. musluk 2. nin 2 katı kadar su akıttığına göre bu musluklar boş havuzu tek başlarına kaç saatte doldururlar?

A)24 B)36 C)48 D)12

Çözüm:

1.musluk 2x

2.musluk x saatte doldurur.

SAYMA, SAYMA ÇEŞİTLERİ, SAYMA YÖNTEMLERİ, SAYMA ÖZELLİKLERİ İLE

6/9/2009 · Kategori: Matematik konu anlatimi

SAYMA, SAYMA ÇEŞİTLERİ, SAYMA YÖNTEMLERİ, SAYMA ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

1. Saymanın temel kuralları :

  Bir çokluğu saymak için üç yöntem uygulanır. Bunlar : Eşleme – toplama ve çarpma yöntemleridir.

  a) Eşleme Yöntemi :

  Saymak istediğimiz çokluğun elemanları ile 1 den başlayan doğal sayıları 1-1 eşlersiniz. En son eşlenen sayı o çokluğun sayısını verir. Örneğin bir grupta bulunan öğrencileri saymak eşleme yöntemi ile saymaktır.

  b) Toplam Yöntemi :

  Daha önce ayrı ayrı sayılan kümelerin eleman sayılarını toplayarak, bunların tümünden oluşan kümenin eleman sayısını bulma yöntemidir. Örneğin  cebimizdeki para çokluğunu bulmak için üzerilerinde yazılı miktarların toplamını alırsınız.

  c) Çarpma Yöntemi :

  Sayılması istenen çokluk ayrı ayrı gruplardan oluşuyorsa, her gruptaki çoklukların sayıları ile grup sayısının çarpımları alınır..Sayılması istenen miktar bulunmuş olur.

  Bu yöntemle çokluk sayısını bulmaya çarpma yöntemi denir.

  Örneğin yandaki dikdört-

  gende bulunan karelerin

  sayısını bulalım. Burada

  6 sütun ve her sütunda

  4 kare olduğundan kare sayısını bulmak için  bunlar çarpılır. 6 . 4 = 24 bulunur. Bu yolla kare sayısı bulma yöntemi çarpma kuralını kullanma yöntemidir.

  Bu yöntemle çözülebilen problemleri inceleyelim.

  A  dan  B  ye  3

  değişik yol B den

  C ye iki değişik

  yol vardır.

  A dan (B den geçme koşulu ile) C ye kaç değişik yolla gidilebilir?

ÇÖZÜM :

  Yollar {(1, a) (1, b) (2, a) (2, b) (3, a) (3, b)} olmak üzere 6 yol bulunur.

  Çarpma yöntemi ile daha çabuk 3 . 2=6 olarak bulunur.

ÖRNEK :

  KONYA kelimesindeki harflerle beş harfli anlamlı yada anlamsız kaç sözcük yazılabilir ?

  Beş harfi yandaki

  1;                  Numaraya 5 değişik harf yazılabilir.

  2;                  Numaraya 4 değişik harf yazılabilir.

                        (Çünkü bir harf  1 numaraya yazılmıştır.)

  3;                  Numaraya 3 değişik harf yazılabilir.

  4;                  Numaraya 2 değişik harf yazılabilir.

  5;                        Numaraya ise 1 harf kalır. Yazıla-bilecek sözcük sayısı, çarpma yöntemi gereğince   5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 olarak bulunur.

ÖRNEK :

  İki  torbanın  birinde siyah ve diğerinde beyaz

  ve üzerlerinde 1,2,3,4,5 numaraları yazılı 5 er

  bilye vardır.

  Bu torbaların her birinden birer bilye çekilerek

  ikililer elde ediliyor. Bu ikililerin sayısı kaçtır ?

ÇÖZÜM :

  Çarpma yöntemi ile 5.5 = 25 ikili bulunur.

ÖRNEK :

  A = {1, 2, 3, 4, 5}   kümesinin  elemanlarını

  kullanarak 300 den büyük üç basamaklı kaç

  tane sayı yazabiliriz. (Bir  kez  kullandığınız

  rakamı bir daha kullanabilirsiniz)

ÇÖZÜM :

  Üç  basamaklı  sayının  yüzler  basamağına

  ancak  3, 4, 5 rakamlarından biri gelir. Diğer

  basamaklara ise 5 rakamdan biri getirilebilir.

  Çarpma yöntemi ile 3.5.5 = 75 sayı yazılabilir.

  ÖRNEK :

  A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile

  rakamlar  tekrarsız  ve  300  den  büyük üç

  basamaklı kaç sayı yazabilirsiniz. bilgiyelpazesi.net

yüzler basamağına 3 değişik rakam onlar basamağına (yüzler basamağına bir rakam yazıldığı için) 4 değişik rakam ve birler basa-mağına da 3 değişik rakam yazılabilir. Çarpma yöntemi gereği bu değişik değerler çarpılır.

  Bu hesapları daha çabuk yapabilmek için (faktöriyel) hesapları kullanılır.

  Faktöriyel hesapları hatırlayalım.

  Tanım : 1, 2, 3, 4........n (1 den n e kadar doğal sayıların çarpımı n nin yanına bir ünlem işareti konularak gösterilir ve n faktöryel diye okunur.)

  1.2.3.4.5........n = n !

  tanıma uymayan 0 ! ve 1 ! gösterimleri kullanılabilir ve değerleri 1 dir. 0! = 1; 1! = 1 dir.

  Faktöryel hesapları

  1.            n!(n+1) = (n+1)!

  2.             = (n-1)!

  3.            r!(r+1)(r+2) ... n = n

  4.             = (r+1)(r+2)(r+3).n

  olduğunu hatırlayınız.

ÖRNEK :

   in sonucu kaçtır?

ÇÖZÜM :

   =  = 6.7 = 42 bulunur.     

ÖRNEK :

   = 7.8 = 56 bulunur.

ÖRNEK :

   = 72 ise n kaçtır?

ÇÖZÜM :

  = (n-1).n Þ n(n-1) = 72

  n² – n – 72 = 0 dır.

  Bu ise (n-9)(n+8) = 0;  n = 9 ve N = -8 bulunur. n = -8 olamaz (neden?) o halde n = 9 olmalıdır.

ÖRNEK:

   = 30 is n kaçtır?

Kalıcı Bağlantı Yorum (yok) Yorum yaz!